ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UN INCOGNITA

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es una ecuación de tipo ax + bx + c = 0 e la cual a, b, c, son constante y a = 0, en otras palabras es toda ecuación en la cual el mayor exponente es 2.
Ecuación en segundo grado completas son ecuaciones de la forma ax + b +c = 0
Ecuación en segundo grado simples son ecuaciones de la forma ax +c = 0
Diremos que la incompleta si b o c, o ambas a la vez son cero.
Diremos que es completa cuando ninguno de los coeficientes es cero.


METODOS:

+Raices Simples:

Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde a la forma especial en que falta el término con la variable de primer grado; o sea cuando está en la siguiente forma:

El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Resuelve por medio de la raíz cuadrada

Solución:

 




_{+Factizacion:}

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática  son tales que la expresión  puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de resolución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales:

Si a y b son números reales, entonces:

a×b = 0   si y solo si  a = 0 o b = 0  (o ambos valen cero)

Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.

Ejemplo

Resuelve por factorización

Solución:

   


_{+ Completacion al Cuadrado:}

El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la cuadrática general  para que quede así: . Donde A y B son constantes. Esta última ecuación se puede resolver fácilmente por medio de la raíz cuadrada, como se explicó en la sección anterior. Así:

Antes de estudiar cómo se resuelve la primera parte, haremos una pausa breve para analizar un problema relacionado con el nuestro: ¿Qué número se le debe de sumar a  para que el resultado sea el cuadrado de una expresión lineal? Hay una sencilla regla mecánica para encontrar tal número: se basa en los cuadrados de los siguientes binomios:

En ambos casos, observemos que, en el miembro derecho, el tercer término es el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, que aparece en el segundo término. Esta observación nos lleva directamente a la regla:

Para completar el cuadrado de una expresión cuadrática de la forma

se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x, o sea:  o sea


_{+Formula General}

Para obtener la formula para resolver ecuaciones de segundo grado, tomamos la ecuación general  y resolvemos para x, en función de los coeficientes a, b y c, por el método de compleción del cuadrado; de esta manera obtenemos una fórmula que podremos memorizar y utilizar siempre que se conozca el valor de a, b y c.

Para empezar haremos igual a 1 el coeficiente principal. Para ello, multiplicamos por 1/a ambos miembros de la ecuación. Queda así:

Sumamos –c/a a ambos miembros de la ecuación para suprimir c/a del miembro izquierdo.

Ahora completamos el cuadro del miembro izquierdo; para ello, sumamos a cada miembro del cuadrado de la mitad del coeficiente de x;

Luego factorizamos el miembro izquierdo de la ecuación y la resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

Obtenemos esto:

Está última ecuación se llama fórmula cuadrática. Es necesario memorizarla y emplearla para resolver ecuaciones cuadráticas, cuando no dan resultado métodos más sencillos. Observa que b²-4ac recibe el nombre de discriminante y nos proporciona la siguiente información útil respecto de las raíces:

b² - 4ac

ax² + bx + c = 0

Positivo

Dos soluciones reales

Cero

Una solución real

Negativo

Dos soluciones complejas